magnify

pəu/ddo uəƃuıusıʌɹəpunʞʞıʇɐɯəʇɐɯ ɹnus ıʌ 

Home Tall og algebra Potenser Regneregler for potenser

Regneregler for potenser

Vi kan regne med potenser

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«munder»«munder»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mo»§#65080;«/mo»«/munder»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»ganger«/mi»«/mrow»«/munder»«mo»§#183;«/mo»«munder»«munder»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mo»§#65080;«/mo»«/munder»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»ganger«/mi»«/mrow»«/munder»«mo»=«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mn»9«/mn»«/msup»«/math»

Vi ser at

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mn»9«/mn»«/msup»«/math»

Tilsvarende gjelder når vi dividerer potenser på hverandre:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«msup»«mn»3«/mn»«mn»6«/mn»«/msup»«msup»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#183;«/mo»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mn»3«/mn»«/menclose»«mo»§#183;«/mo»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mn»3«/mn»«/menclose»«/mrow»«mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mn»3«/mn»«/menclose»«mo»§#183;«/mo»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mn»3«/mn»«/menclose»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/msup»«/math»

Vi ser at

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«msup»«mn»3«/mn»«mn»6«/mn»«/msup»«msup»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»=«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/msup»«/math»

Les mer »

Regneregler for potenser

La a være et reelt tall og la m og n være naturlige tall.
Da gjelder følgende regneregler for potenser:

 

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»a«/mi»«mi»m«/mi»«/msup»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mi»a«/mi»«mi»n«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»a«/mi»«mrow»«mi»m«/mi»«mo»+«/mo»«mi»n«/mi»«/mrow»«/msup»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«msup»«mi»a«/mi»«mi»m«/mi»«/msup»«msup»«mi»a«/mi»«mi»n«/mi»«/msup»«/mfrac»«mo»=«/mo»«msup»«mi»a«/mi»«mrow»«mi»m«/mi»«mo»-«/mo»«mi»n«/mi»«/mrow»«/msup»«/math»

 

Legg merke til at regelen bare gjelder når potensene har samme grunntall!

Hvordan blir utregningen hvis potensen i nevneren har større eksponent enn potensen i telleren?

Vi bytter om på potensene i eksemplet ovenfor.

Ved vanlig brøkregning får vi

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«msup»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mn»3«/mn»«mn»6«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mn»3«/mn»«/menclose»«mo»§#183;«/mo»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mn»3«/mn»«/menclose»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#183;«/mo»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mn»3«/mn»«/menclose»«mo»§#183;«/mo»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mn»3«/mn»«/menclose»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»

Ved å bruke regneregelen for potenser, får vi

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«msup»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mn»3«/mn»«mn»6«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»=«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/msup»«/math»

Vi ønsker at regnereglene for potenser også skal gjelde i slike tilfeller. Det betyr at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi»og«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/msup»«/math» må være samme tallet.

Definisjon

Det er defor bestemt at alle reelle tall a  (a ≠ 0) og naturlige tall n gjelder at

 

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»a«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»n«/mi»«/mrow»«/msup»«mover»«mo»=«/mo»«mi»def«/mi»«/mover»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mi»a«/mi»«mi»n«/mi»«/msup»«/mfrac»«/math»

Hva så hvis potensene i teller og nevner har like store eksponenter? Vi ser på et eksempel.

Ved vanlig brøkregning får vi

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«msup»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mn»3«/mn»«/menclose»«mo»§#183;«/mo»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mn»3«/mn»«/menclose»«/mrow»«mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mn»3«/mn»«/menclose»«mo»§#183;«/mo»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mn»3«/mn»«/menclose»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»1«/mn»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math»

Ved å bruke regneregelen for potenser, får vi

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«msup»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»=«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mn»0«/mn»«/msup»«/math»

Vi ønsker også her at regnereglene for potenser skal gjelde. Det betyr at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mn»3«/mn»«mn»0«/mn»«/msup»«/math» må være lik tallet 1.

Definisjon

Det er derfor bestemt at for alle reelle tall a (bortsett fra a = 0), gjelder at

 

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»a«/mi»«mn»0«/mn»«/msup»«mover»«mo»=«/mo»«mi»def«/mi»«/mover»«mn»1«/mn»«/math»

Studer følgende regnestykker hvor definisjonen på potenser er brukt gjentatte ganger sammen med vanlige regneregler.

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#183;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#183;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#183;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»=«/mo»«msup»«mn»2«/mn»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/msup»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mfenced»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mfenced»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»§#183;«/mo»«mfenced»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»§#183;«/mo»«mfenced»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»§#183;«/mo»«mfenced»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#183;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#183;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#183;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mn»2«/mn»«mn»4«/mn»«/msup»«msup»«mn»3«/mn»«mn»4«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mfenced»«msup»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mfenced»«msup»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfenced»«mo»§#183;«/mo»«mfenced»«msup»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfenced»«mo»§#183;«/mo»«mfenced»«msup»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfenced»«mo»§#183;«/mo»«mfenced»«msup»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»(«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»)«/mo»«mo»§#183;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»)«/mo»«mo»§#183;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#183;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mn»2«/mn»«mn»12«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«/math»23·4

Vi kan sette opp tilsvarende regnestykker hvor vi bytter ut tallene 2, 3 og 4 med hvilke som helst andre reelle tall.


Tekst og bilder på denne siden ble opprinnelig hentet fra NDLA, men kan inneholde endringer i forhold til originalteksten.
Kilde URL: http://ndla.no/nb/node/89625?fag=53&meny=1117
Kildens lisens: CC BY-NC-SA
Tekst og bilder hentet den: 2012-02-19

Legg igjen en kommentar

Din e-postadresse vil ikke bli publisert. Obligatoriske felt er merket med *