magnify

pəu/ddo uəƃuıusıʌɹəpunʞʞıʇɐɯəʇɐɯ ɹnus ıʌ 

Home Tall og algebra Eksponentiell vekst

Eksponentiell vekst

I forrige avsnitt (Vekstfaktor) så vi at hvis vi setter 10 000 kroner i banken og får 3 % rente per år, vil beløpet etter 8 år ha vokst til 12668 kroner.

Etter 8 år vil beløpet altså ha vokst til:

$latex 10000\cdot1,03\cdot1,03\cdot1,03\cdot1,03\cdot1,03\cdot1,03\cdot1,03\cdot 1,03= 10000\cdot1,03^8 = 12668 $

Etter x år vil beløpet da ha vokst til  $latex 10000 \cdot 1,03^8 $ kroner. 
Vi lar B(x) angi beløpet i banken etter x år og får at  $latex B(x) = 10000 \cdot 1,03^x$

Funksjonen B gitt ved B(x) er et eksempel på en eksponentialfunksjon. En slik funksjon kjennetegnes ved at den inneholder en potens med den ukjente som eksponent. Grunntallet i potensen kalles vekstfaktoren.

Les mer »

Når vekstfaktoren er større enn 1, vokser funksjonen med en fast prosent per tidsenhet (ofte per år). Sammenhengen mellom den prosentvise veksten og vekstfaktoren er gitt ved likningen

 

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»vekstfaktor«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»p«/mi»«mn»100«/mn»«/mfrac»«/math»

 

Når vekstfaktoren er mindre enn 1, avtar funksjonen med en fast prosent per tidsenhet (ofte per år). Sammenhengen mellom den prosentvise nedgangen og vekstfaktoren er gitt ved likningen

 

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»vekstfaktor«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mfrac»«mi»p«/mi»«mn»100«/mn»«/mfrac»«/math»

 

 

Grafen til funksjonen B er tegnet til høyre. Grafen vokser først langsomt for deretter å bli brattere og brattere. Selv om bankrenten er lav, vil beløpet i banken etter hvert vokse raskt.

Dette er typisk for eksponentiell vekst. Mange størrelser i naturen vil følge en eksponentiell vekstkurve om den får vokse fritt. Det gjelder for eksempel antall bakterier i en bakteriekultur eller antall kaniner på en øy uten fiender og med ubegrenset mattilgang.

Prøv selv

 

Eksempel

Bruktbiler til salg. Hvor mange år vil det gå før verdien er halvert?

Kari kjøper en fire år gammel bil for $latex 200 000$ kroner.

bilde av bruktbiler

Bilens verdi har sunket med 10 % hvert år siden den var ny. Vi regner med at denne verdireduksjonen vil fortsette de neste årene.
Bilens verdi V(x), x antall år etter at Kari kjøpte den, er da gitt ved uttrykket

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mn»200«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»000«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«msup»«mn»90«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/math»

Nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen V.

Grafen til funksjonen V

Av grafen kan vi lese at bilens verdi vil ha sunket til 100 000 kroner etter 6,6 år.

Avlesning på grafen viser også at bilens verdi for 4 år siden, altså bilens pris som ny, var nærmere 305 000 kroner.


Tekst og bilder på denne siden ble opprinnelig hentet fra NDLA, men kan inneholde endringer i forhold til originalteksten.
Kilde URL: http://ndla.no/nb/node/90631/menu?fag=53&meny=1117
Kildens lisens: CC BY-NC-SA
Tekst og bilder hentet den: 2012-02-24

2 Responses

  1. Lene

    Hva hvis du har ekponentiell funksjon be^ax. Hvordan kan du løse den?

  2. lars

    heidu artig video

Legg igjen en kommentar

Din e-postadresse vil ikke bli publisert. Obligatoriske felt er merket med *