magnify

pəu/ddo uəƃuıusıʌɹəpunʞʞıʇɐɯəʇɐɯ ɹnus ıʌ 

Home Modellering Eksponentialfunksjon som modell

Eksponentialfunksjon som modell

I algebrakapittelet så vi på eksempelet nedenfor.

Eksempel

Kari kjøper en fire år gammel bil for kroner. Bilens verdi har avtatt med 10 % hvert år siden den var ny. Vi regner med at verdien vil fortsette å avta med 10 % per år de neste årene.

Bilens verdi V(x), x år etter at Kari kjøpte den, er da gitt ved modellen

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mn»200«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mn»000«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«msup»«mn»90«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/math»

Les mer »

 

Bilde av bruktbilder
Hvis verdien avtar med 10 % per år, vil bilen bare være verd halvparten av det du kjøpte den for etter 6,6 år.
Vis at dette gjelder uansett hva bilen kostet da du kjøpte den.

 

Nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen V.

Av grafen kan vi lese at bilens verdi vil ha sunket til
100 000 kroner etter 6,6 år.

Avlesning på grafen viser også at bilens verdi for 4 år siden, altså bilens pris som ny, var nærmere
305 000 kroner.

Bilde av en graf Funksjonen V ovenfor er en eksponentialfunksjon.

Eksponentialfunksjoner kan skrives på formen

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»a«/mi»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«/math» der a og b er konstante tall.

Legg merke til at x her er eksponent i potensen.

I algebrakapittelet så vi at vi alltid kan finne matematiske modeller uttrykt ved eksponentialfunksjoner når størrelser avtar eller øker med en fast prosent.

For å finne en eksponentiell modell ved regresjon må vi bruke eksponentialregresjon. Vi skriver da

RegEksp[liste1]

i GeoGebra.

Eksempel

Siv ville finne ut hvordan en solsikke hun hadde i hagen, vokste uke for uke. Hun målte høyden til solsikken hver uke i åtte uker. De observerte verdiene ser du i tabellen nedenfor.

Bilde av en tabell

Vi markerer datamaterialet fra tabellen som punkter i et koordinatsystem.Bilde av et koordinatsystem

For å finne en modell som kan brukes for å beskrive solsikkens vekst, ser det ut som vi må finne en funksjon som vokser raskere og raskere etter som – verdiene øker.

Her vil det derfor være naturlig å prøve medeksponentiell regresjon.

 

 

Eksponentiell regresjon i GeoGebra gir

Bilde av en sosikke

Hvor mye kan en solsikke vokse i løpet av en uke?

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mn»10«/mn»«mo»,«/mo»«mn»94«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«msup»«mn»38«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/math»

NB!
Noen digitale verktøy vil gi eksponentialfunksjoner på formen

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»a«/mi»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mi»bx«/mi»«/msup»«/math».

Hvis du bruker et digitalt verktøy som gir eksponentialfunksjonen

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mn»10«/mn»«mo»,«/mo»«mn»94«/mn»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»32«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/math»

her, må du omforme dette utrykket slik

Bilde av en tenkeboble «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mn»10«/mn»«mo»,«/mo»«mn»94«/mn»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»32«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mn»10«/mn»«mo»,«/mo»«mn»94«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«msup»«mn»38«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Graf

 

 

Dersom vi skriver funksjonsuttrykket på denne formen, ser vi at solsikken var ca. 10,9 cm da Siv begynte å måle, og at den har vokst med ca. 38 % hver uke.

Vi ser at kurven treffer bra med de observerte verdiene, men det er viktig å legge merke til at modellen vi fant her, bare gjelder i et begrenset tidsintervall.

Det vil være naturlig at veksten til solsikken vil avta og etter hvert stoppe helt opp. Vi kan da ikke bruke det samme funksjonsuttrykket.

Her må vi bruke sunn fornuft!

 

 


Tekst og bilder på denne siden ble opprinnelig hentet fra NDLA, men kan inneholde endringer i forhold til originalteksten.
Kilde URL: http://ndla.no/nb/node/92467?fag=53&meny=1117
Kildens lisens: CC BY-NC-SA
Tekst og bilder hentet den: 2012-02-24

Legg igjen en kommentar

Din e-postadresse vil ikke bli publisert. Obligatoriske felt er merket med *